카메라 렌즈의 초점거리는 일반적으로 화각을 의미한다. 그러나 50mm 렌즈의 초점거리가 몇 도의 화각인지는 쉽게 계산되지 않는다. 이런 계산의 어려움은 복잡한 삼각함수의 사용이 필수적이기 때문인데, 다음과 같은 방법을 이용하여 유도할 수 있다.

기본 정보

일단 135판 35mm 필름의 한 프레임의 대각선 길이는 피타고라스의 정리에 의해 다음과 같이 구할 수 있다.

$$
대각선길이 = sqrt(36^2 + 24^2) = 43.27
$$

렌즈를 통과해서 수광되는 면은 원래 둥글기 때문에 원이라고 생각하고 그 원의 반지름 r은 대각선길이의 절반이 된다.

$$
r = 대각선길이 / 2 = 43.27 / 2 = 21.63
$$

초점거리 -> 화각 변환

화각을 $\theta$ 도, 초점거리를 $f$ mm라고 놓는다. 그러면 삼각함수 tangent의 정의에 의해 다음과 같은 식이 성립된다.

$$
tan (\theta/2) = \frac
$$

이 식으로부터 $\theta$를 계산하면, 다음과 같다.

$$
\theta = atan(\frac) * 2 = atan(\frac) * 2
$$

여기서 초점거리 f를 표준렌즈의 50mm로 가정하면, $\theta$는 $46.79^\circ$임을 알 수 있다.
$$
\theta = atan(21.63/50) * 2 = 46.79^\circ
$$

역으로, 화각으로부터 초점거리를 구하는 식은 다음과 같이 유도된다.

$$
f = \frac = \frac ... (1)
$$

그런데, 하프프레임(Half-frame) 카메라의 경우, 필름의 면적이 절반으로 줄면서 대각선 길이도 바뀐다. 위의 계산식을 모두 수정해야 한다.

$$
대각선길이 = sqrt((36/2)^2 + 24^2) = 30.00 \
r' = 대각선길이 / 2 = 30.00 / 2 = 15.00 \
\theta' = atan(\frac) * 2 = atan(15.00/f) * 2
$$

초점거리를 동일하게 f = 50mm로 가정하면,

$$
\theta' = atan(15.00/50) * 2 = 33.40^\circ
$$

필름 촬상면이 절반으로 좁아지니 화각도 $47^\circ$ 정도에서 $33.40^\circ$로 좁아졌다.

$$
f' = \frac = \frac ... (2)
$$

이전에 구했던 풀프레임 카메라의 화각 -> 초점거리 공식 (1)과 이번에 구한 하프프레임 카메라의 화각 -> 초점거리 공식 (2)를 비교해보면, 화각이 고정되었다는 전제 하에 두 공식은 1.44배의 비례 관계가 된다.

$$
풀프레임 초점거리 f = 하프프레임 초점거리 f' * 1.44
$$

동일한 화각을 유지하려면 촬상면이 좁아졌으니 그만큼 더 렌즈를 필름에 더 가까이 배치해야 된다는 의미이다.